现实问题

你可以选择今天拿100元，或者一年后拿105元。两个数字看起来只差5元，但它们不在同一时点，不能直接比较。

今天的100元可以立即消费、投资、偿债或作为应急资金；一年后的105元在今天还不可用，而且一年内的通胀、机会和偿付状态都可能变化。

直观理解

时间价值的本质是：不同日期的资源不是同一个对象，必须用一个可比较的时间价格进行换算。

利息不是凭空多出的钱，而是现在使用资源者向现在让出资源者支付的补偿。补偿可能包含：

• 放弃当前用途的机会成本；
• 未来货币购买力下降的通胀补偿；
• 时间越长、不确定性越大所需的风险补偿；
• 资金不能随时取回的流动性补偿。

本源透镜

• 主体：谁今天让出资源，谁今天使用资源？
• 时间：什么时候交出，什么时候取回，中间复利多少次？
• 状态：未来是按期兑付、提前偿还还是违约？通胀和利率是否变化？
• 权利：让出资源者获得哪些未来现金流？
• 价格：这些现金流换算到同一时点后值多少？

正式术语

• 本金（Principal）：最初交出或投入的资金。
• 利息（Interest）：使用资金的时间价格。
• 单利（Simple Interest）：每期只对初始本金计算利息。
• 复利（Compound Interest）：前期利息进入后期本金继续产生利息。
• 现值（Present Value, PV）：未来现金流换算成今天的价值。
• 终值（Future Value, FV）：当前资金累积到未来的价值。
• 折现率（Discount Rate）：将未来现金流换算为今天价值时的要求回报率。
• 名义收益与实际收益：名义收益是货币数量增长，实际收益扣除购买力下降。

公式与变量

单利终值：

FV = PV × (1 + r × n)

复利终值：

FV = PV × (1 + r)^n

现值：

PV = FV / (1 + r)^n

每年复利 m 次：

FV = PV × (1 + r/m)^(m×n)

近似实际收益：

实际收益率 ≈ 名义收益率 - 通胀率

更准确的关系是：

1 + 实际收益率 = (1 + 名义收益率) / (1 + 通胀率)

数字例子

今天投入10万元，年收益率5%，按年复利3年：

FV = 10 × 1.05^3 = 11.57625万元

三年共增加1.57625万元。如果使用单利：

FV = 10 × (1 + 5% × 3) = 11.5万元

两者的差距来自前期利息是否继续生息。时间越长，复利差异越大。

改变一个条件

假设一年后确定收到105元：

• 当折现率是5%时，现值是100元。
• 当折现率升到10%时，现值只有 105 / 1.10 = 95.45元。

未来现金流没有变，但市场对时间和风险的要求变了，今天的价值就会变。这是“利率上升，既有固定现金流资产价格下降”的最小原因。

边界与反例

• 时间价值不等于风险。即使未来收款完全确定，不同日期仍需换算；风险只会进一步改变折现率或预期现金流。
• 利率不只有一个数。政策利率、存款利率、贷款利率、债券收益率和客户实际融资成本对象不同。
• 复利频率必须与利率口径匹配。名义年利率12%按月复利，不是每月12%。
• 高名义收益不保证高实际收益。名义收益8%、通胀7%时，实际购买力增长很小。

下一个问题

现值公式假设了一条未来现金流。但现实中，未来可能有很多种结果：成功时赚20%，普通时不赚不亏，失败时亏30%。

多个未来状态怎样被压缩成“收益”和“风险”？