现实问题

一项投资明年可能有三种结果：

这项投资的“收益”是20%、0%还是-10%？答案是：在未来状态真正发生之前，它不是一个确定数字，而是一组带概率的可能结果。

直观理解

金融中的风险不只是“会不会亏”，而是：今天拥有的权利，在不同未来状态下会产生不同结果。

为了比较不同权利，需要两次压缩：

1. 用预期收益描述所有可能结果的概率加权中心。
2. 用方差或标准差描述结果围绕中心分散得多开。

预期收益告诉我们“中心大约在哪里”，标准差告诉我们“结果可能离中心多远”。两者不能互相替代。

本源透镜

• 主体：谁承担最终结果？谁只承担固定义务？
• 时间：不确定性在哪个时点被解决？考察期间是一天、一年还是十年？
• 状态：有哪些互斥或共同发生的结果？每个概率是什么？
• 权利：各状态下能收到什么？损失有没有上限？
• 价格：投资者为承担这组结果要求多少补偿？

正式术语

• 收益率（Return）：一段时间内价值变化与期间收入相对初始投入的比例。
• 概率（Probability）：某种状态发生的可能性。
• 预期收益（Expected Return）：所有可能收益按概率加权的平均。
• 方差（Variance）：收益偏离预期收益的平方加权平均。
• 标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，与收益率使用同一单位。
• 下行风险（Downside Risk）：只聚焦目标或阈值以下的不利结果。

公式与变量

单期总收益率：

R = (期末价值 - 期初价值 + 期间现金收入) / 期初价值

预期收益：

E(R) = Σ [pᵢ × Rᵢ]

方差：

Var(R) = Σ [pᵢ × (Rᵢ - E(R))²]

标准差：

σ = √Var(R)

pᵢ是第 i 种状态的概率，Rᵢ是该状态收益率。所有概率之和应为1。

数字例子

使用本节开头的三种状态：

E(R) = 30% × 20% + 50% × 0% + 20% × (-10%)
     = 4%

各状态偏离4%的幅度分别是16、-4和-14个百分点。

Var = 30% × 16² + 50% × (-4)² + 20% × (-14)²
    = 124 平方百分点

σ = √124 ≈ 11.14%

因此，可以把这项投资压缩为“预期收益4%，标准差约11.14%”。这是一个摘要，不是对原始状态的完全替代。

改变一个条件

考虑另一项投资，50%概率获得4%，50%概率也获得4%。它的预期收益同样是4%，但标准差为0。

所以，“预期收益相同”不等于“风险相同”。只看平均结果会把两组完全不同的未来压成同一个数。

边界与反例

• 标准差同时把向上和向下偏离都当成波动；对只关心亏损的人，还需要下行风险、最大回撤或压力情景。
• 标准差高说明总结果波动大，不自动说明与整个市场一起变动得多。后者要看协方差和β。
• 历史波动是样本估计，不是未来状态的完整真理。结构变化后，历史概率和相关性都可能失效。
• “不确定”不等于“不可分析”。金融分析的任务就是显露可能状态、概率边界和损失路径。

下一个问题

如果未来状态不同，人们可以创造不同权利：有人先收固定利息，有人承担剩余结果，有人只在事故发生时收款，有人只买一个“可以选择”的权利。

这些权利分别会生成什么金融工具？